Question

3、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(1/a²-1)(1/b²-1)的最小值

Answer 1

原式展开(1/a^2-1)(1/b^2-1)
得 1/a^2b^2-1/a^2-1/b^2+1
= 1/a^2b^2-（a^2+b^2）/ a^2b^2 + 1
=1/a^2b^2-(1-2ab)/a^2b^2+1
=2/ab+1
(a+b)^2=1 a^2+b^2>=2ab, a^2+b^2+2ab=1 得到 ab<=1/4
所以原式 >= 8+1=9
最小是9
此时a=b=1/2

Answer 2

令(1/a²-1)(1/b²-1)=s
s=1/（a+1）（a-1）乘以1/（b+1）（b-1）
又a+b=1
得
s=1/（a+1））（-a）*1/（b+1）（-b）
=1/(a²+a)（b²+b）
=1/（a²b²+ab²+ba²+ab）=1/（a²b²+ab（a+b）+ab）=1/（a²b²+2ab）
即求ab的最大值a+b=1≥2根号下ab
即ab最大值为1/4
s最小值为1/（1/16+1/2）=16/9