Question

高一数学函数单调性与最大（小）值

设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/3)=1.
①求f(1)的值；②如果f(x)+f(x+2)＜2，求x的取值范围

具体步骤！！！

Answer 1

解：1、令x=y=1
f(1)=f(1)+f(1)，
f(1)=0
2、x>0 x+2>0
f(x)+f(x+2)=f(x^2+2x)＜2
f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
f(x)+f(x+2)=f(x^2+2x)＜2=f(1/9)
x^2+2x>1/9
x>√10/3-1或x<-1-√10/3

Answer 2

令x=y=1 f(xy)=f(x)+f(y)，带入得f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(x)+f(x+2)=f(x(x+2))
因为f(x)+f(x+2)＜2
所以f(x(x+2))<f(1/9)
函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
所以x(x+2)>1/9
x>√10/3-1或x<-1-√10/3
因为x>0所以
x>√10/3-1

Answer 3

解：1. 令x=y=1,则有f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0。
2. 令x=1/3,y=3,则有f(1)= f(1/3)+ f(3),即0=1+f(3)，f(3)=-1.
再令x=3,y=1/9，则有f(1/3)=f(3)+f(1/9)，得f(1/9)=2.
又因为不等式f(x)+f(x+2)<2等价于
f(x(x+2))<2，因为f（x）为减函数，且f(1/9)=2
则问题最终化为 x(x+2)>1/9,解这个不等式即可

Answer 4

我同意一楼的观点