Question

线性代数求一个正交的相似变化，将对称矩阵A转化为对角矩阵.请数学高手帮忙解答一下，过程详细一点

A=( 2 -2 0
-2 1 -2
0 -2 0)

Answer 1

解: |A-λE| =
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ

r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3
(只能尝试这样, -r3 是后来发现正好凑出(1-λ)公因子)
0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)
-2 1-λ -2
0 -2 -λ

第1行提出 (1-λ), 再按第1列展开 = 2 乘
(2-λ)/2 -2
-2 -λ

2乘到第1行上
2-λ -4
-2 -λ
= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)

所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)

特征值为 1,4,-2

A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为: (2,1,-2), 单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'

A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为: (2,-2,1), 单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'

A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为: (1,2,2), 单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'

则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵, 满足 P^-1AP = diag (1,4,-2).

满意请采纳^_^

Answer 2

这类题目太麻烦了