Question

线性代数里面（A+E）^n怎么计算

（A是一个矩阵，E为单位矩阵）。

Answer 1

如果用二项式展开，还不如直接把A+E算出来然后自乘 n次呢。展开以后自乘的次数多很多了

一般而言，一个矩阵（用M表示，这里M=A+E）的函数（这里就是x^n)都可以用约当标准型计算。当M用P,Q变换成约当标准型后，J=PMQ，则M的n次方可以用J的n次方表示
M^n=P^(-1)J^nQ^(n)，其中J^n是个特殊的格式
一个k阶特征值为s的约当标准型，形式为
s 1 0 ...0
0 s 1 0...0
0,0....0 s 1
0,0,.....0 s
对应普通函数可导f(x)作用后得到f(J)为
其第i行j列
如果i<=j, d^kf(s)/(ds)^k / k!, 其中k=j-i
如果i>j, 值为0

这是常见矩阵方程求解方式

Answer 2

如果是抽象矩阵求通法就是楼上几位的方法了；
如果是具体做题目的时候遇到的话，这种求n次方类型的题目，括号里的矩阵一般各行（列）都成比例，可以分解为一个列向量乘以行向量，然后n次展开后用结合律把中间部分的的行向量×列向量先求解，结果中间部分化成1×1向量，最后乘一头一尾。

Answer 3

因为 AE = EA = A (A,E可交换)
所以 (A+E)^n 可按二项式公式展开:

(A+E)^n = A^n + C(n,1)A^(n-1) + C(n,2)A^(n-2) + ... + C(n,n-1)A + C(n,n)

Answer 4

（A+E）^n按牛顿二项公式展开计算。
如（A+E）^3=A^3+3A^2E+3AE^2+E^3=A^3+3A^2+3A+E