Question

单调函数f(x)满足，对任意x,y，f(x+y)=f(x)+f(y)。证明f(x)是连续函数

Answer 1

首先f(x)的定义域是R
显然有f(0)=0
下面只考虑单调增的情况（单调减的话-f(x)连续）
f(2x)=f(x+x)=2f(x)
f(x)/2=f(x/2)
用数学归纳法可以得到
f(x)/2^n=f(x/2^n)
设C>0
f(C)=f(x+C)-f(x)>=f(x)-f(x)=0
1，假如对于每个正实数C，f(C)=0
那么对于每个负数x,f(x)=f(x-x)-f(-x)=0
那么f(x)恒等于0，显然成立
2，假如存在正实数C,使f(C)>0
下面用定义证明连续性
对于任意的正实数d
显然存在N使得d>f(C)/2^n=f(C/2^n)
我们取ε=C/2^n
如果c属于(-ε,+ε)
|f(x+c)-f(x)|=|f(c)|=f(c)<f(ε)=d
有定义f(x)是连续函数

Answer 2

令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,得f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,则f(-x)= - f(x)，所以f(x)是奇函数，且x属于R，又函数f(x)是R上的单调函数，所以f(x)是连续函数。

追问

你答得不对

追答

那你知道连续函数是怎么定义的嘛，高中是不作要求的

追问

你很幽默

Answer 3

f(x+dx)=f(x)+f(dx)
令dx趋近于0，只需证明f（dx）趋近于0即可
由于f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），所以f（0）=0，因此只需证明f在0处连续即可
现证，左极限和有极限都存在，可设单调递增
左极限，任意序列｛xn｝当从左边趋近于0，f（xn）是递增数列，而f（xn）<f（0）=0有上界，因此数列收敛，同理当从右边趋近于0时，也收敛。由海涅定理可知，极限存在。所以函数在点0处连续

追问

你的证明是错的。
左右数列极限都收敛，还需要相等，才能说明，这点的极限存在。

追答

左极限和右极限都收敛于0
若不然，右极限收敛于正数a，任意y>0，任意正整数n，存在正数b，使得nbf（0+nb）=nf（b）>na，这说明f（y）是无穷，因此不可能单调 矛盾

Answer 4

f(x) = f(x - y + y) = f(x - y) + f(y)------------(1)
x=y ==>f(x)=f(0)+f(x) ==> f(0)=0
从(1), f(x)-f(y)=f(x-y)

单调函数f(x)
设x≠y, f(x)-f(y)=f(x-y)≠0
Lim(x->y)f(x)-f(y)=Lim(x->y)f(x-y)=e,
单调函数f(x), x->y,e趋于f(0),趋于零
单调函数 f(x)是连续函数

追问

你证明过程的错误的本质，在前面人的回答中已经犯过了。

追答

h= x- b. lim_{x->b} f(x)= lim_{h->0}f(b+ h)= lim_{h->0}f(b)+ lim_{h-> 0}f(h)
= f(b)+ lim_{h->0}f(h)= f(b).
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)+f(x/2)=2f(x/2)
f(x)=(2^n)* f(x/(2^n))
f(x)/(2^n)=f(x/(2^n))
f(△x)/2^n = f(△x/(2^n))
f(-△x)/2^n = f(-△x/(2^n))
单调函数f(x), n->无穷大,△x-->0, f(△x/(2^n))-f(-△x)/(2^n)) =(1/(2^n))*[f(△x)-f(-△x)]->0
f(0)连续, lim_{h->0}f(h)=0

Answer 5

我想试着答一下，首先对于任意x0，在x0的某个邻域内，由于f（x）是单调函数，
故有f（x0+0）存在，且等于supf（x）在U+（x0）空心邻域内。同理f（x0-0）也存在
由f(x+y)=f(x)+f(y)知f（x0+0）=f（x0-0）=f（x0）
由于左右极限相等且等于函数值，故连续，又由于x0的任意性，故f（x）是连续函数

追问

“f（x0+0）=f（x0-0）=f（x0）”
这一步有问题