Question

ABCD-A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是（　　）

1 A、M、O三点共线
2 B、M、O、A1、A四点共面
3 C、O、C、M四点共面
4 D、B1、O、M四点共面
1234选项要有详细解释和证明

Answer 1

第一项是正确的。
很明显，正方体ABCD－A1B1C1D1是以平面AA1C1C对称的，
∴三棱锥A1－AB1D1也是以平面AA1C1C对称的，∴M在平面AA1C1C与平面AB1D1的交线上，
而O是B1D1的中点，又容易证得：O是A1C1的中点，
∴O是平面AA1C1C与平面AB1D1的的一个公共点，
∴O在平面AA1C1C与平面AB1D1的交线上，
毫无疑问，A在平面AA1C1C与平面AB1D1的交线上。
于是：A、M、O三点共线。

第二项的描述有问题，问四点是否共线，却出现了五个点。
∵A、M、O共线，∴B、M、O、A分别在两相交直线BO、AO上，当然是共面的。
又M、O、A1、A分别在两相交直线AO、A1O上，∴M、O、A1、A四点也是共面的。
而M、O明显是在面ABA1的外面，∴B、M、O、A1、A五点不共面。
∵问题的描述本身有毛病，不能确定究竟是问哪四点，∴这一项的正确与否无法判断。

第三项应该是问C、O、C1、M这四点吧！如果是这样，那么就是正确的。
这从第一项的证明过程中能得出其正确性，因为A、M、O都在三棱锥A1－AB1D1的对称面，即在平面CC1A1A上，
∴C、O、C1、M四点共面。

第四项是错误的。
由对称性，令A1C与平面BDC1相交于N。则有：A1M＝CN，∴CM＝CN＋MN＞A1M。
∴M不是A1C与平面BB1D1D的交点，即点M不在平面BB1D1D上，
而D、B1、O却在平面BB1D1D上，∴D、B1、O、M四点不共面。

追问

选项2 打错了是 “M、O、A1、A四点共面”麻烦再做一下吧
还有一楼的回答，可以帮忙解释下不
选项一 A1到此三边的距离相等
这个为什么
选项4 M不为A1C的中点，所以平面D1B1BD不经过M点
这个为什么

追答

一、
这样一来，第二项就是正确的。

二、
A1到△AB1D1三边的距离确实是相等的。因为△A1AB1、△A1AD1、△A1B1D1是三个全等的等腰直角三角形，其中的腰是原正方体的棱长，由全等三角形的对应高相等，得：A1到△AB1D1三边的距离。
但至于A1C是不是过△AB1D1的中心就不是这样简单能够说明的了，必须在A1C⊥面AB1D1的前提下才能说明M是△AB1D1的中心。

三、
如果A1C与平面D1B1BD相交于M，那么：由正方体可知AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
得：△AA1M≌△C1CM，∴A1M＝CM。
∴当A1M、CM不等时，就能说明M不是A1C与平面D1B1BD的交点，自然平面D1B1BD就不经过M点了。

Answer 2

因为AB1,AD1,B1D1三边相等，为等边三角形AB1D1
A1到此三边的距离相等
所以M过等边三角形AB1D1的中心
AO为中线，
所以A、M、O三点共线
2 B、M、O、A1、A四点共面 ，肯定是错的
3 C、O、C1、M四点共面是对的，因为有平面四边形AA1CC1
O在其中，A1C在其中，M又在A1C上，所以M也在其中
4 D、B1、O、M四点共面是错的
M不为A1C的中点，所以平面D1B1BD不经过M点
所以要选就选BD
因为B本来就打印错误
记得采纳

追问

A1到此三边的距离相等
这个为什么
不好意思，我数学真的很烂
还有1如果用公理3（过交点只有一条直线）怎么证明
选项2 M、O、A1、A四点共面，再麻烦写下过程吧
选项4 M不为A1C的中点，所以平面D1B1BD不经过M点
这个为什么
我书上给的分析是
根据公理3，进行判断A，O，M三点共线；根据公理1的推论可知M，O，A1，A四点共面；M，O，C1，C四点共面；而OM，B1D是异面直线，因此得到答案．