Question

解一道数学平面几何题

如图，P为€ABCD内任意一点，△PAB面积为S1，△PCD面积为S2，€ABCD面积为S。求：
（1）S1,S2与S的关系如何？请证明。
（2）若点P在€ABCD外部（P在边CD下方），S1,S2与S的关系又如何？
（以上问题请写出详细过程）

Answer 1

（1）

如图，红色的垂线，因为AB=CD，

则S1=AB*FP* 1/2 

    S2=CD*EP*1/2=AB*EP*1/2

则S1+S2=AB*(FP+EP)*1/2=AB*EF*1/2

∵S=AB*EF

∴S=1/2(S1+S2)

(2)

如图，P在CD下（蓝色），作垂线（粉色）

同理，S1=AB*FP* 1/2 

          S2=CD*EP*1/2=AB*EP*1/2

则S1-S2=AB*(FP-EP)* 1/2=AB*EF*1/2

∵S=AB*EF

∴S=1/2(S1-S2)

Answer 2

自己写

Answer 3

过P点作AB,CD的垂线，分别交于E,F,则
S1=AB*EP*0.5 S2=CD*FP*0.5
又AB=CD
所以S1+S2=0.5AB(EP+FP)=0.5AB*EF
又S=AB*EF
所以S1+S2=0.5S

若点P在外部，则S1-S2=0.5S （证法同上）

Answer 4

1.连接AD交BC于Q
∵S△APQ=S△DPQ（等底同高）
∴S1+S2=S/2
2.连接AD
令S△CDP的高为h1
S△ABD的高为h2
S△ABP的高为h
则h=h1+h2
AB=CD
S△CDP=CD×h1×0.5
S△ABD=AB×h2×0.5
而S△ABP=AB×h×0.5
S△CDP+S△ABD=S△ABP
∴S1-S2=S/2

Answer 5

（1）S=2(S1+S2)； 两两三角形相似，易证明
（2）相等；还是相似