Question

高分求解！已知奇函数f(x)对任意正实数x1x2 (x1-x2)*[f(x1)-f(x2)]>0 则一定正确的是

其中选项f(4)>f(-6)是错的 4-（-6）>0 f(4)>f(-6)怎么错了？

还有如果f(x+1)为奇函数，是f(0)=0还是f(1)=0还是f(-1)=0？什么情况下可整体考虑？

Answer 1

解答：问题不是想您那样考虑的。
请注意：“已知奇函数f(x)对任意正实数x1x2 ”
是对x1 ，x2大于0时成立的。
而-6小于0，故不能直接带入。
本题可以这样考虑：
(x1-x2)*[f(x1)-f(x2)]>0 可变形为 ：[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）＞0
即当x＞0时，图像上任意两点（x1，x2)的斜率k=[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）＞0
所以函数在x＞0时为增函数。
在根据奇函数性质，f（x）=-f（-x）
1.如果函数是连续函数，（如f（x）=x）
则：f（-6）=- f（6）
因为f（6）＞f（4）
所以 -f（6）＜f（4） 即 f(4)＞f（-6）
2若函数是不连续函数（如f(x)=-1/X，其中x不等于0）
则画出图像易得f（4）＜f（-6）

2如果
如果f(x+1)为奇函数 则 f（-1）=0
我们把A =x+1 ，因为f(0)=0
所以A=0=x+1，所以x=-1

Answer 2

若单调递增，设x1《x2，则x1，x2同号且不为0；
若单调递减，设x1《x2，则x1，x2异号且不为0；
所以应该分这两种讨论
对于第二个问题是这样的：
令x+1=t，因为是奇函数，所以f(t)=f(-t),即是x+1=-（x+1）；则x=-1
所以是f(-1)=0
这种题可以用换元法做

Answer 3

任意正实数x1x2， (x1-x2)*[f(x1)-f(x2)]>0，x必须为＋
应该将f(-6)改写为－f(6)，因此是错的
如果f(x+1)为奇函数，是f(1)=0
由奇函数定义知：f（－x＋1）＝－f（x＋1）
令x＝0，得2f（1）＝0，f（1）＝0
这也没什么具体的规则，具体问题具体分析。关键要弄清楚概念！

追问

为什么必须为正？

令t=x+1 t=0时f(t)=0 则x=-1时f(t)=0 f(-1+1)=0这又哪儿错了

追答

题目上说的，好好审题是关键。
错的是你弄错了变量，变量是ｘ，而不是ｘ＋１，关键将概念弄清楚。

Answer 4

第一个问题，因为如果一个函数为奇函数，肯定单调（有可能不是严格单调），那么可能是增函数也可能是减函数啊，增函数的时候当然是f(4)>f(-6)，减函数的时候f(4)<f(-6)。
第二个问题，奇偶函数都要整体考虑，奇函数有：f(x)=-f(-x)，
偶函数有：f(x)=f(-x)，这里的x都代表一个整体
因此，f(x+1)为奇函数，是f(-1)=0
若有疑问，加QQ：282457892共同探讨学习。

追问

当x1>x2 f(x1)>f(x2)
.....<........,<
是增函数不是吗

追答

你说的没错，关键是奇函数一定是增函数吗？

Answer 5

1.对于任意0<x1<x2
f（x1）-f（x2）=f(x1-x2)*[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）<0 所以f在（0，正无穷上是增函数）
易证：在（负无穷，0）上也是增函数。
但有可能的是在0处不连续
f（-6）=-f（6）<-f（4）而假如f（6）<0 那么f（4）<f（-6）因此是错误的。
由题设可画图像，f（4）和f（6）<0，不要认为f（4）>f（0），因为增区间并不是[0,正无穷]而是(0,正无穷)不包括0