Question

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,∠A=90°

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,∠A=90°,D是BC的中点,EF分别是AB,AC上的动点且满足ED⊥DF.是否存在AE＝AF的情形？并给与证明

Answer 1

证明：连接EF、AF，当AE=AF时，∵AB=AC ∴EF平行于BC
∵∠EAF=90° 又∵AB=AC，D为BC中点 ∴AD平分∠BAC，∠BAC=∠CAD=45°=∠ABC=∠ACB=∠AEF=∠AFE
∵∠BAC=90°=∠EDF ∴∠BAC+∠EDF=180°，A、E、D、F四点共圆
∴∠EDA=∠AFE=45°=∠EDB=∠EBD，∠ADF=∠AEF=45°=∠EDC=∠ACB
∴△AED、△AFD、△BED、△DFC为等腰直角三角形
∴BE=ED=AE=AF=FD=FC
∴当E、F分别为AB、AC中点时即AE=AF的情形

Answer 2

存在啊，当EF分别为AB、AC的中点时候

追问

怎么证明？

Answer 3

存在
当E,F分别在AB,AC的中点上
∵E为AB中点 ∴AE=AF
∴AE=1／2 AB
又∵同理
∴AF=1／2 AC
∵AB=AC

Answer 4

存在，证明：D是BC的中点，BD=BC,EF是动点，当ED垂直DF,那么角BAC=角EDF,那么三角形BED全等于三角形CFD，BE=CF,由于AB=AC,所以AB-BE=AC-CF,即AE=AF