Question

已知点O是△ABC内一点，且向量OA+2向量OB+2向量OC=0，则△ABC的面积与四边形ABOC的面积之比为多少？

要有详细过程

Answer 1

设BC中点为D，连接AD。
因为 OA+2OB+2OC=0
所以 2(OB+OC)=AO
2*2OD=AO
AO=4OD
所以，O 是AD的五等分点，AD=5OD
SABC：SOBC=5：1
所以SABC：SABOC=5：4.

Answer 2

作向量OD=2OB,OF=2OC,
以OD、OF为邻边作平行四边形ODEF,根据
平行四边形法则可知：OD +OF=OE.
即2OB＋2OC＝OE.
由已知2OB＋2OC＝-OA，
所以OE＝-OA，
BC是中位线，则OE＝2OG=4OH,
则线段OA、OH的长度之比为4:1，
从而AH、OH的长度之比为5:1，
所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5:1，
所以△ABC与△OBC的面积比为5:1，
∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4.