Question

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b-2(a不等于0),

对于函数f(x)=ax^2+(b+1)x+b-2(a不等于0),若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，在f（x）有两相异不动点的情况下，若y=f（x）的图像上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点且直线y=kx+1/(2a^2+1)是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围

Answer 1

：解∵f（x）=ax2 （b 1）x b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4．
设x为其不动点，即2x2-x-4=x．
则2x2-2x-4=0．∴x1=-1，x2=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax2 bx b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-2）＞0．即b2-4ab 8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，∴16a2-32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），
直线y=kx
1
2a2 1
是线段AB的垂直平分线，∴k=-1
记AB的中点M（x0，x0）．由（2）知x0=-
b
2a
，∵M在y=kx
1
2a2 1
上，∴-
b
2a
=
b
2a

1
2a2 1
．
化简得：b=-
a
2a2 1
=-
1
2a
1
a
≥-
1
2
2a•
1
a
=-
2
4
(当a=
2
2
时，等号成立）．
即0＞b≥-
2
4
．即[-
2
4
，

Answer 2

由题意：f(x0)=ax^2+(b+1)x+b-2=x0，得ax^2+bx+b-2=0 （1）
设X1和X2为两不动点，则是方程（1）两根。由伟大定理得X1+X2=-b/a,X1*X2=(b-2)/a.
delta=b^2-4a(b-2)>0
设A点（X1，Y1）B点(X2，Y2).线段AB的斜率为(Y2-Y1)/(X2-X1),易求为 1.
由于直线y=kx+1/(2a^2+1)与AB垂直，所以K=-1.AB中点M（x1+x2/2, y1+y2/2)在直线上。因为不动点x0，使f(x0)=x0成立。所以y1=x1,y2=x2.将中点M带入直线方程
得 -b/a=-1/(2a^2+1) (2)
(1)和（2）联立，得b>(1/5)^1/4 或b< - (1/5)^1/4

Answer 3

看图啦

Answer 4

bbbbbbb