Question

关于微积分导数的问题 f(x0)的n阶导数存在，在x=x0的邻域内f(x)是否可导？

f(x0)的n阶导数存在是否可以推出在x=x0的邻域内f(x)可导；
f(x0)的n阶导数存在可以推出f(x)的n-1阶导数在x=x0的邻域内连续，那么是否可以推出f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内连续；
当x趋向于x0时，计算可得f'(x)的极限为k，是否可以说f'(x0)=k;

高数学得不好，请大虾们帮我解决这三个问题，不胜感激！！！
第一个是：f(x0)的n阶导数存在是否可以推出在x=x0的邻域内f(x)n阶可导；

Answer 1

1. 函数f(x)在x0点的n阶导数存在不能推出在x=x0的邻域内f(x) n阶可导；
函数f(x)在x0点的n阶导数用D[f(x0),n]来表示，
D[f(x0),n]=Limit [D[f(x),n-1]－D[f(x0),n-1] ) / (x-x0)，x->x0] ①
由①可以推出在x=x0的邻域内f(x)的 n-1阶导数存在且连续；
2. 由函数f(x)在x0点的n阶导数存在，不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在，更不能得到n阶导函数的连续性；
3. 当x趋向于x0时，计算可得f '(x)的极限为k，不能得到f '(x0)=k。
例如：分段函数f(x)=kx，x≠0; f(x)=1，x=0
在x=0,f '(x)的极限为k; 在x=0,f(x)不连续，故f’(0)不存在。

追问

由函数f(x)在x0点的n阶导数存在，不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在，更不能得到n阶导函数的连续性--------这个好难想象，f(x0)的n阶导数存在的话（设为k），其左右极限都是趋向于k的，在x0处一个极小的范围内f(x)的n阶导数不都是趋向于k的吗，随便取一个点的导数不是都有吗？还有关于连续性，若n=1的话能帮我举一个f'(x0)存在，但f'(x)在x0不连续的例子吗？

追答

所以高等数学有很多都是，可能从直观得到错误的结论，尤其是这类的选择或者判断。
分段函数 f(x)= x^2 six(1/x) ，x≠0; f(x)=0，x=0
f ' (x)= 2x six(1/x) -cos(1/x)，x≠0; 按照定义求得 f ' (0)=0，x=0
在x=0,f '(x)的极限不存在，故不连续。