Question

f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x) 那道题目能帮我证明一下 奇偶性 和x在（0，1）单调性么

Answer 1

①首先定义域要求1+x/1-x>0，x不为零，解得-1<x<0，0<x<1
定义域是{x|-1<x<0或0<x<1}

②f(x)=1/x -log2(1+x)/(1-x)，
f(-x)=-1/x -log2(1-x)/(1+x),
f(-x)+ f(x) =-log2(1+x)/(1-x) -log2(1-x)/(1+x)
=- log2[(1+x)/(1-x)* (1-x)/(1+x)]
=- log2 1=0,
所以f(-x)=- f(x)，函数是奇函数。

③因为1+x>0,1-x>0(也就是对数里面的分式可拆开)
所以f(x)=1/x-log2-log(1+x)+log(1-x)

当-1<x<0时，1/x是减函数，log(1+x)是增函数，log（1-x）是减函数
f(x)=减函数-增函数+减函数=减函数

当0<x<1时，1/x是减函数，log(1+x)是增函数，log（1-x）是减函数
f(x)=减函数-增函数+减函数=减函数

所以f(x)在(-1,0)和(0,1)两个区间内分别单调递减