Question

已知三角形ABC的外接圆半径6若面积S=a^2-(b-c)^2且SinB+SinC=4/3求SinA 求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

这题我做过
由正弦定理：sinB=b/2R,sinC=c/2R,代入sinB+sinC=4/3,
得：b+c=(4/3)*2R=(4/3)*2*6=16...........(1)
S=a²-(b-c)²=a²-(b+c)²+4bc=a²-16²+4bc
=a²-256+4bc.............................(2)
S=(1/2)bcsinA=(1/2)bc(a/2R)=abc/24......(3)
又 S=a²-(b-c)²=[a+(b-c)][(a-(b-c)]
=(a+b-c)(a+c-b)=4[(a+b-c)/2][(a+c-b)/2]
=4[(a+b+c)/2-c][(a+b+c)/2-b]=4(p-c)(p-b)
故有 (p-b)(p-c)=S/4......................(4)
其中p=(a+b+c)/2=(a+16)/2=a/2+8
将(4)代入海伦公式：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√[p(p-a)(S/4)]
两边平方，消去一个S，并将P值代入，得：
S=（1/4)p(p-a)=(1/4)(a/2+8)(a/2+8-a)
=(1/4)(a/2+8)(8-a/2)=(1/4)(64-a²/4)
=（1/4)(256-a²)/4=(256-a²)/16.............(5)
于是由（2)(5）得：
(256-a²)/16=a²-256+4bc
∴bc=（1/4)[（256-a²)/16+(256-a²)]
=17(256-a²)/64...........................(6)
由（3）得：
bc=4RS/a=24S/a=(24/a)(256-a²）/16
=3（256-a²)/2a...........................(7)
由（6）（7）得：
17(256-a²)/64=3（256-a²)/2a
即 17/64=3/2a
∴a=96/17
故sinA=a/2R=a/12=(96/17)/12=8/17.
由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
S=1/2bcsinA
=4R^2 * 1/2 * sinBsinCsinA
=2(R^2)*(sinBsinC)sinA
=576/17 * (sinBsinC)
≤576/17 * [(sinB+sinC)^2]/4

=256/17

当且仅当sinB=sinC=2/3时等号成立。

∴S的最大值为256/17.

追问

我做了两种 就是不怎么确定
谢啦

追答

不客气