Question

已知抛物线C：y^2=2px(p>0)的准线为L,焦点为F。圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切。过原点O作倾斜角

为π/3的直线n,交L于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2

过L上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标

Answer 1

详解：
设准线l:x=-p/2交x轴于点D
解直角三角形ODA
易得|OD|=p/2=1,知p=2
抛物线方程为y^2=4x
不难得到三角形MOB为正三角形
且圆M半径r=|OB|=2,圆心M(2,0)
知圆M方程为:
(x-2)^2+y^2=4......（1）
动点Q在准线l:x=-1上,可设其为Q(-1,t)
下面求以MQ为直径圆N的方程
MQ中点即N点,xN=(xM+xQ)/2=1/2,yN=(yM+yQ)/2=t/2
即N(1/2,t/2)
圆N半径r1^2=(MQ/2)^2=(t^2+9)/4
知圆N方程为:
(x-1/2)^2+(y-t/2)^2=(t^2+9)/4......（2）
（1）-（2）可消去x,y的平方项,整理即得两圆公共弦ST直线方程:
3x=ty+2
易知ST过定点(2/3,0),证毕.

Answer 2

饿。。。。 赞同一楼的 绝对 对