Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD。

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD。
（1）求证：OE=OF;
（2）求OE/AD+OE/BC的值
（3）求证：1/AD+1/BC=2/EF

Answer 1

第一个问题：
∵EO∥BC，∴△AEO∽△ABC，∴OE/BC＝AO/AC。
∵OF∥BC，∴△DOF∽△DBC，∴OF/BC＝DO/BD。
∵AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，∴AO/AC＝DO/BD。
由OE/BC＝AO/AC、OF/BC＝DO/BD、AO/AC＝DO/BD，得：OE/BC＝OF/BC，∴OE＝OF。

第二个问题：
∵EO∥AD，∴△BEO∽△BAD，∴OE/AD＝BO/BD。
结合第一个问题时证得的OE/BC＝AO/AC，得：OE/AD＋OE/BC＝BO/BD＋AO/AC，
再结合第一个问题时证得的AO/AC＝DO/BD，得：OE/AD＋OE/BC＝BO/BD＋DO/BD＝1。

第三个问题：
由第二个问题的结论，有：OE/AD＋OE/BC＝1，由第一个问题的结论，有：OE＝OF，
∴OF/AD＋OF/BC＝1，与OE/AD＋OE/BC＝1两式相加，得：
（OE＋OF）/AD＋（OE＋OF）/BC＝2，∴EF/AD＋EF/BC＝2，∴1/AD＋1/BC＝2/EF。

Answer 2

解：（1）∵EF∥AD，AD∥BC，
∴OEBC=AOAC=ODBD=OFBC，
故OE=OF；

（2）∵EF∥AD，AD∥BC，
∴OEAD=BEAB，OEBC=AEAB，
∴OEAD+
OEBC=AE+BEAB=ABAB=1；

（3）由（2）得：OE（1AD+1BC）=1，又OE=OF=12EF，
∴2OEEF=1，
∴OE（1AD+1BC）=2OEEF，
∴1AD+
1BC=
2EF．