Question

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)

(1).令X1=1/2,Xn+1=2Xn/(1+xn^2).求{f(Xn)}的通项公式. （2）.设Tn为数列{1/f(Xn)}的前n项和,是否存在正数Tn,使Tn小于7n-4/3恒成立. 求数学高手！！！！

Answer 1

我来回答看看。感觉这道题技巧性还比较高。
第一问，要求通项公式，我们首先要证明函数的一些特性。
由题意可知，f(x)-f(x)=f(x-x/1-x^2)即0=f(0) f(0)=0 这是第一个
f(0)-f(x)=f(0-x/1-0)即-f(x)=f(-x)，又因为其定义域关于原点对称，所以该函数为奇函数 这是第二个
上面两个特性应该是解题的关键。
我们将Xn+1=2Xn/(1+xn^2)变换一下，Xn+1=[Xn-(-Xn)]/[1-Xn×(-Xn)]，看懂了吧，就是要凑出符合题目给出函数的特性，然后根据题目给出的函数变化公式可得
f(Xn+1)=f([Xn-(-Xn)]/[1-Xn×(-Xn)])=f(Xn)-f(-Xn) 因为是奇函数，所以f(Xn+1)=2f(Xn)
首项为f(X1)=f(1/2)=1 等比数列
所以通项公式为{f(Xn)}=an=2^(n-1) n属于N*

第二问，你的意思应该是是否存在正数n，要使Tn<(7n-4)/3是吧？如果是这样，那么首先求出Tn的表达式
设数列Bn=1/2^(n-1) 那么首项是1，公比是1/2，根据等比数列求和公式，可得
Tn=2-2^(1-n)<(7n-4)/3
要使得恒成立，随着n的增大，不等式左边是在逐渐逼近2，右边则趋于无穷大，所以必有一个临界点，令(7n-4)/3=2，得n=10/7，所以当n=2时，(7n-4)/3已经大于Tn了
所以只要n取大于等于2的值，那么Tn小于7n-4/3

Answer 2

将f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy))中x 换成Xn+1，y换成Xn，并代入关系式Xn+1=2Xn/(1+xn^2)就能求出f(Xn+1)=2f(Xn)
显然这是个首项为1，以2为等比的数列，很容易得到通项公式。
第2 问同意1楼解法。