Question

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)（1）判断f（x）在（-1,1）上的奇偶性，并证明（2）令x1=1/2，xn+1=2xn/(1+xn�0�5）证明｛f（xn）｝是等比数列，求f（xn）通项公式（3）设Tn是｛（2n-1）/f（xn）｝前n项和，若Tn<(6-3m)/2,对n属于正整数恒成立，求m（max）

Answer 1

(1)f(x)是奇函数
令x=y=0 则有f(0)-f(0)=f(0-0/1-0×0) ==>f(0)=0

令x=0可得f(0)-f(y)=f(-y) ==>f(y)=-f(-y)

所以f(x)奇函数

(2)第二题是不是X[n+1]=2Xn/(Xn^2+1)
在f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)
中令y=-x ==>f(x)-f(-x)=f(2x/1+x^2)
====>2f(x)=f(2x/1+x^2)
令x=xn 则有2f(xn)=f(xn/1+xn^2)=f(x[n+1])
所以f(x[n+1])=2f(xn) ==>f(xn) 是以f(1/2)=1为首项，2为公比的等比数列
所以f(xn)=2^(n-1)

(3)Tn=1+3/2+5/2^2+...+(2n-1)/2^(n-1)
用错位相减法求得
则T(n)=1*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=2-(1/2)^(n+1)，由题T(n)=2-(1/2)^(n+1)<(m-4)/3恒成立，得m>10-3*(1/2)^(n+1)恒成立，又n为正整数时，10-3*(1/2)^(n+1)＜10，故m可取最小值10．