Question

设α，β是方程x²-2kx+k+6=0的实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）

设α，β是方程x²-2kx+k+6=0的实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是（）

Answer 1

代数方法：α+β=2k,α*β=k+6，同时4k*k-4（k+6）〉=0，（α-1）²+（β-1）²可以化简成α+β，α*β表示，最后可以用k表示的二次函数表示，k的范围已知，可以求出二次函数的最值
几何方法：α+β=2k,α*β=k+6，同时4k*k-4（k+6）〉=0，点（α，β）的范围可以在平面坐标系中表示，（α-1）²+（β-1）²表示的是这点到点（1,1）的距离的平方，这种方法和线性规划有关。。

Answer 2

(α-1)²+(β-1)²=α²-2α+1+β²-2β+1=α²+β²-2(α+β)+2
=(α＋β)²-2αβ-2(α＋β)+2
=4k²-2k-12+4k+2
=4k²+2k-10
当k=-1/4时，有最小值

Answer 3

（α-1）²+（β-1）²=α²+β²-2(α+β)+1=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+1=4k²-2(k+6)-2*2k+1
=4k²-2k-11=4(k-1/4)²-45/4
△=4k²-4k-24>=0 k<=-2 或 k>=3

Answer 4

8