Question

设函数f(x)的定义域为R，且在定义域上总有f(x)=-f(x+2),又当-1<=x<=1时，f(x)=x2+2x

1 求当3<x<=5时，函数的解析式
2 判断函数在(3,5）上单调性

Answer 1

因为f【（x+2）+2】=-f(x+2),f(x+2)=-f(x)
所以f(x+4)=f(x)，
即f(x)是周期为4的函数。
因为-1<=x<=1时，f(x)=x2+2x
所以3<x<=5，即3-4<x-4<=5-4，-1<x-4<=1，
f(x-4)=（x-4）2+2（x-4）
因为f（(x-4)+4）=f(x-4)
所以f(x)=f(x-4)
所以f(x)=)=（x-4）的平方+2（x-4）
当-1<=x<=1时，f(x)=x2+2x是增函数
所以f(x)在(3,5）上得单调性和(3-4,5-4）=(-1,1）相同。