Question

已知反比例函数y=k/2x和一次函数y=2x-1其中一次函数的图像经过(a,b),(a+1,b+k)两点

(1)求反比例函数的解析式
(2)已知点A在第一象限,且同时在上述的两函数的图像上,求点A的坐标
(3)利用(2)的结果,请问在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

Answer 1

(1)：将(a,b)和(a+1,b+k)带入一次函数解析式整理得到方程组：
b=2a-1
b=2a+1-k
两式相减得到-1=1-k解之得：k=2
反比例函数解析式为：y=1/x
(2)：反比例函数与一次函数联立得交点为(1，1)和(－1/2，－2)
(3)：在草稿纸上画出二函数的大致的图像，并将交点A画出，我们设P（m,0），因为不知道等腰三角形的顶角，我们使用分类讨论的思想：
1.如果角P为顶角，则三角形AOP为等腰直角三角形，OP边长=1，即m=1，P（1，0）
2.如果角A为顶角。那么三角形AOP亦为等腰直角三角形，解得op=m=2,P(2,0)
3.如果角O为顶角，边op=m=根号2
综上有三点满足要求：（1，0）、（根号2，0）、（2，0）

Answer 2

解：（1）∵一次函数y=2x-1的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
代入得：

b=2a-1
b+k+2=2(a+k)-1

解得：k=2，
代入反比例函数的解析式得：y=
2
2x

=
1
x

，
∴反比例函数的解析式是y=
1
x

（2）解方程组

y=
1
x

y=2x-1

得：

x1=-
1
2

y1=-2

，

x2=1
y2=1

，
∴两函数的交点坐标是（-
1
2

，-2），（1，1），
∵交点A在第一象限，
∴A（1，1）．

（3）在x轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，
理由是：分为三种情况：①以O为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于两点C、D，此时OA=0C=0D，
∴当P于C或D重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（

2

，0），（-

2

，0）；
②以A为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于两点E，此时OA=AE，
∴当P于E重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（2，0）；
③作OA的垂直平分线交x轴于F，此时AF=OF，
∴当P于F重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（1，0）；
∴存在4个点P，使△AOP是等腰三角形．

Answer 3

解答如下：
(1)：将(a,b)和(a+1,b+k)带入一次函数解析式整理得到方程组：
b=2a-1
b=2a+1-k
两式相减得到-1=1-k解之得：k=2
反比例函数解析式为：y=1/x
(2)：反比例函数与一次函数联立得交点为(1，1)和(－1/2，－2)
(3)：在草稿纸上画出二函数的大致的图像，并将交点A画出，我们设P（m,0），因为不知道等腰三角形的顶角，我们使用分类讨论的思想：
1.如果角P为顶角，则△AOP为等腰直角三角形，OP边长=1，即m=1，P（1，0）
2.如果角A为顶角。那么△AOP为等腰直角三角形，解得op=m=2,P(2,0)
3.如果角O为顶角，边op=m=根号2
综上有三点满足要求：（1，0）、（根号2，0）、（2，0）

Answer 4

解答如下：
(1) 将(a,b)、(a+1,b+k)代入y=2x-1 得：
b=2a-1
b=2a+1-k
解得： k=2
∴y=1/x
(2)： y=1/x
y=2x-1
解得x=1 y=1 或x=1/－2 y=-2
(3)：在草稿纸上画出二函数的大致的图像，并将交点A画出，我们设P（m,0），因为不知道等腰三角形的顶角，我们使用分类讨论的思想：
1.如果角P为顶角，则△AOP为等腰直角三角形，OP边长=1，即m=1，P（1，0）
2.如果角A为顶角。那么△AOP为等腰直角三角形，解得op=m=2,P(2,0)
3.如果角O为顶角，边op=m=根号2
综上有三点满足要求：（1，0）、（根号2，0）、（2，0）

Answer 5

解答如下：
(1)：将(a,b)和(a+1,b+k)带入一次函数解析式整理得到方程组：
b=2a-1
b=2a+1-k
两式相减得到-1=1-k解之得：k=2
反比例函数解析式为：y=1/x
(2)：反比例函数与一次函数联立得交点为(1，1)和(－1/2，－2)
(3)：在草稿纸上画出二函数的大致的图像，并将交点A画出，我们设P（m,0），因为不知道等腰三角形的顶角，我们使用分类讨论的思想：
1.如果角P为顶角，则三角形AOP为等腰直角三角形，OP边长=1，即m=1，P（1，0）
2.如果角A为顶角。那么三角形AOP亦为等腰直角三角形，解得op=m=2,P(2,0)
3.如果角O为顶角，边op=m=根号2
综上有三点满足要求：（1，0）、（根号2，0）、（2，0）