Question

正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=A1A，D为C1C的中的

1 求证：AB1⊥平面A1BD
2 若E为AO的中点，求证CE‖平面A1BD

题目原图

Answer 1

做辅助线，连接OD 取AB中点F连接CF、OF和OC
由已知条件，A1B1BA是正方形，AB1⊥A1B，
OD‖CF，CF⊥平面A1B1BA，所以OD⊥平面A1B1BA，所以OD⊥AB1，（AB1在平面A1B1BA里）
因为AB1⊥OD且AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BD（一条线垂直两条相交直线）
第二个证明OC=AC（这个用直角三角形已知两边求第三边就可算出，辅助线已经做了OFC为直角三角形）即可证明EC⊥AB1（线和面都垂直一条空间直线，且那条线不在那个平面上，所以线平行平面）

Answer 2

1. 证明：
连结OD.
由于三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，且AB=A1A
所以侧面都为正方形。
因此，三角形A1BD中，A1D=BD，A1O=OB，
所以OD⊥A1B.
再连结B1D和AD.
同理三角形AB1D中，AD=B1D，AO=B1O,
所以OD⊥AB1.
因为OD⊥A1B.且OD⊥AB1.，
所以OD⊥平面ABA1B1。
因此平面上AB1⊥OD.
由于AB1⊥OD.且AB1⊥A1B.
所以AB1⊥平面A1BD。

2. 连结OC，A1C.
由正三棱柱性质可知，A1B=A1C=根号2(设AB为1)
解三角形A1BC,可得OC=1
因此三角形ACO中，AE=EO,且AC=OC,
所以EC⊥AB1.
由上一问得 AB1⊥平面A1BD，
EC不在平面A1BD上，
因此CE‖平面A1BD。