Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x，x∈[1，+∞]. 若a为正数，求f(x)的最小值

Answer 1

f(x)=x+2+a/x。
由于(x+a/x)^2-(x-a/x)^2
=(平方差公式)[(x+a/x)+(x-a/x)][(x+a/x)-(x-a/x)]
=2x*2a/x=4a，
所以(x+a/x)^2=4a+(x-a/x)^2>=4a。
当a>=1时，x可以取到根号a，所以在x=根号a处f(x)取到最小值4a；
当a<1时，x-a/x随x的增大而增大，且恒正（当x>=1时），
所以(x-a/x)^2也随x的增大而增大，
故f(x)的最小值在x=1处取到，此时f(x)=(1^2+2*1+a)/1=3+a。

Answer 2

楼主您好，
我认为也可以用导数来做，帮您回顾一下导数的知识
定义
　　设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 　　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
函数的可导性与导函数
　　一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率. 　　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.
导数的几何意义
　　函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x 导数的几何意义
0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.

求导数的方法
　　(1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 　　② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。 　　(2)几种常见函数的导数公式： 　　① C'=0(C为常数函数) 　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 　　③ (sinx)' = cosx 　　(cosx)' = - sinx 　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 　　(secx)'=tanx·secx 　　(cscx)'=-cotx·cscx 　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 　　(arctanx)'=1/(1+x^2) 　　(arccotx)'=-1/(1+x^2) 　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) 　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) 　　④(sinhx)'=coshx 　　(coshx)'=sinhx 　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 　　(sechx)'=-tanhx·sechx 　　(cschx)'=-cothx·cschx 　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) 　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) 　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) 　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 　　⑤ (e^x)' = e^x 　　(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） 　　(Inx)' = 1/x（ln为自然对数） 　　(logax)' =x^(-1)logae(a>0且a不等于1) 　　(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) 　　(1/x)'=-x^(-2) 　　补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数 正指正弦、正切与正割 。） 　　(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)： 　　①(u±v)'=u'±v' 　　②(uv)'=u'v+uv' 　　③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 　　（4）复合函数的导数: 　　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 　　（5）积分号下的求导法 　　d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 　　导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！

最后祝您学习更上一层楼！！！