Question

已知函数f(x)=a^x-1/a^x(其中a>0且a≠1,a为实数常数).

1.若f(x)=2,求x的值（用a表示）
2.若a>1，且a^t·f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1.2]恒成立，求实数m的取值范围（用a表示）.

Answer 1

(1) 令a^x=t ,代入原方程，得
t-1/t=2
解得t=1+√2 或t=1-√2 (舍) 所以a^x=1+√2 x=log (a) (1+√2)
(2)
整理原式得，
a^t[a^(2t)-a^(-2t)]+m[a^t-a^(-t)]≥0
令a^t=x 换元 定义域[1,2] 所以a≤x≤a²
x(x+1/x)(1-1/x)+m(1-1/x)≥0
由条件可知x-1/x>0
x(1+1/x)+m≥0
x+1+m≥0
m≥-x-1
m≥(-x-1)max
m≥-a-1

Answer 2

a>0,a≠1,a为实数常数.
a^x>0.
1, t=a^x>0.
2=a^x-1/a^x=t-1/t,
0=t^2-2t-1, Delta=4+4=8,
a^x=t=[2+8^(1/2)]/2=1+2^(1/2),
x=ln[1+2^(1/2)]/ln(a)
2, a>1. 1<=t<=2. 1<a<=a^t<=a^2, 1<a^2<= a^(2t) <=a^4. -1>-a^2>=-a^(2t)>=-a^4
0<=a^tf(2t)+mf(t)=a^t[a^(2t)-1/a^(2t)] + m[a^t-1/a^t]=a^(3t)-1/a^t + ma^t - m/a^t,
0<=a^(4t)-1 + ma^(2t) - m=[a^(2t)-1][a^(2t)+1 + m],
0<=a^(2t)+1 + m,
m>=-1-a^(2t),
m>=-1-a^2

Answer 3

[[1]]
x=loga(1+√2).
[[2]]
反解.m≧-a²-1.