Question

讨论函数f(x)=x+a/x(a>0)的单调性

Answer 1

首先，f(x)的定义域为x不等于0，f‘(x)=1-a/x^2，令f‘(x)=0得x=√a或-√a，当x<-√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增；当-√a<x<0或0<x<√a时，f‘(x)<0,f(x)单调递减；当x>√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增。

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

Answer 2

先讨论x>0的情况：
f(x)=x+a/x
令0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=x1-x2+a(x2-x1)/x1x2
=(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2).

①如果0<x1<x2≤√a
因为0<x1<x2≤a^0.5
所以x1-x2<0,x1x2-a<0
故(x1x2-a)(x1-x2)>0
所以当0<x≤√a时，f(x)单调递减

②如果√a≤x1<x2
因为√a≤x1<x2
所以x1-x2<0,x1x2-a>0
故(x1x2-a)(x1-x2)<0
所以当x≥√a时，f(x)单调递增

当x<0时，
因为f(-x) =-x-a/x=-f(x),函数是奇函数，图像关于原点对称。
所以当-√a ≤x<0时，f(x)单调递减，
当x≤-√a时，f(x)单调递增。

Answer 3

首先，f(x)的定义域为x不等于0
f‘(x)=1-a/x^2
令f‘(x)=0得x=√a或-√a
当x<-√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增
当-√a<x<0或0<x<√a时，f‘(x)<0,f(x)单调递减
当x>√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增

Answer 4

如图看出单调性

Answer 5

利用求导的方法来解释单调性问题最简单，你可以尝试一下，不会我在给你解答