Question

函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an=f(1/an-1) 1）求an 2） Tn=a1a2-a2a3+a3a4……(-1)^ n-1 anan-1

若Tn>=tn^2恒成立，求实数t的取值范围
3） 懒得写了 （你懂得）
只求找出原题，不需解答。

Answer 1

1.
an=f[1/a(n-1)]=[2/a(n-1)+3]/[3/a(n-1)]
3an=[2/a(n-1)+3]a(n-1)=2+3a(n-1)
an=2/3+a(n-1)
an=a1+(n-1)*2/3
=(2n+1)/3

2.
a(n-1)an=[(2n-1)/3][(2n+1)/3]=(4n^2-1)/9
Tn=a1a2-a2a3+a3a4……(-1)^(n-1)*ana(n-1)
=1*5/3-(5/3)(7/3)+(7/3)(9/3)+……+(-1)^(n-1)*(4n^2-1)/9
9Tn=3*5-5*7+7*9+……+(-1)^(n-1)*(4n^2-1)
=(4*1^2-1)-(4*2^2-1)+(4*3^2-1)-……+(-1)^(n-1)*(4n^2-1)
=4[1^2-2^2+3^2-……+(-1)^(n-1)*n^2]-[1-1+1-1+……+(-1)^(n-1)]
≥4[1^2-2^2+3^2-……+(-1)^(n-1)*n^2]
=4[(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+……+(-1)^(n-2)*(n-1)^2+(-1)^(n-1)*n^2]
=4[(-3)+(-3)+……(-3)+(-3)+(-1)^(n-2)*(n-1)^2+(-1)^(n-1)*n^2]
当n=2k时
9Tn≥4[(-3)+(-3)+……(-3)+(-3)+(-1)^(n-2)*(n-1)^2+(-1)^(n-1)*n^2]
=4[(-3)+(-3)+……(-3)+(-3)+(-3)]
=-12k
=-6n
当n=2k-1时
9Tn≥4[(-3)+(-3)+……(-3)+(-3)+(-1)^(n-2)*(n-1)^2+(-1)^(n-1)*n^2]
=4[(-3)+(-3)+……(-3)+(-3)+(2k-1)^2
=-12(k-1))+(2k-1)^2
=-6(2k-1))+6+(2k-1)^2
=-6n+6+n^2
＞-6n
所以9Tn≥-6n
即Tn≥-(2/3)n