Question

已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M

（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t，三角形OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出当0小于t小于2时，S的最大值；
（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、L：x+y=1；
2、设OP=t，则P(t,0)，因P是x轴正半轴上的动点，故t>0；又OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M，所以M(t/2,0)，Q(t/2,t/2)，三角形OPQ的底为OP，OP上的高为QM，因此
S=(1/2)*OP*QM=(1/2)*t*(t/2)=(t^2)/4，t>0；
当0小于t小于2时应该是当0<t≤2时，故当t=2时S有最大值1；
3、直线L1过点A且与x轴平行，则L1：y=1
设L1上存在点C(x,1)，使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则
QC=QP且QC^2+QP^2=PC^2，即
根号[(x-t/2)^2+(1-t/2)^2]=根号[(t-t/2)^2+(0-t/2)^2]
(x-t/2)^2+(1-t/2)^2+(t-t/2)^2+(0-t/2)^2=(x-t)^2+1
整理得：
x^2-xt-t+1=0
xt-t=0
解得x=1，t=1
综上，在L1上存在点C(1,1)，使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。