Question

已知P（2,1）过点P作直线l与x轴y轴正半轴分别交于AB两点，则使三角形AOB（O为原点)周长最小的直线方程是

求高手，真的很难，至少我是做了3小时做不出

Answer 1

设过P（2，1）的直线l 的方程为 x/a+y/b=1
a,b是直线l 在两坐标轴上的截距，a>0,b>0
点P在直线上。则
2/a+1/b=1，即 a+2b=ab
三角形OAB的周长L=a+b+√(a²+b²)>=a+b+√2ab>=2√ab+√2*√ab=(2+√2)√ab
当且仅当a=b 时，L有最小值
那么a+2a=a²
a²-3a=0
a不等于0，
a=3
那么所求的直线方程是
x/3+y/3=1
即 x+y-3=0

（此时L的最小值是 （2+√2）√ab=3(2+√2)
也就是 OA+OB+AB=3+3+3√2=3（2+√2）

追问

当算两截距之和最小时，算一下这时的周长好像更小吧

追答

你别忘了，还有个条件限制，就是直线要经过点P

追问

是过的
不信自己算一遍

追答

截距和是小了，但是AB却长了，周长还小不下来啊
你在坐标系里，过P(2,1)画展直线 ，就可以直观地看出来了
用y-1=k(x-2) 的方式去算斜率值，可以算出来，但是很繁琐。你可能已经试过了。现在的方式是最简单便捷的。
你说有截距和更小的，你举个例看看？

追问

过点P(2,1),有2/a+1/b=1
a+b=（a+b）*（2/a+1/b）》=3+2根号2，
当且仅当a=跟号（2b），
解得a=2+根号2，b=1+根号2，
此时斜边为 根号3+根号6，
周长为3+根号2+根号3+根号6
小于6+3根号2

追答

(a+b)(2/a+1/b)=2+2b/a+a/b+1=3+(a²+2b²)/ab>=3+2√2,
当且仅当a=2b时,,a+b 有最小值
但所求的是周长的最小值
因此要对
L=a+b+√(a²+b²) 作探讨
如a=2b成立
L=2b+b+√(4b²+b²)=3b+√5b²=(3+√5)b
当a=2b时
2/2b+1/b=1
b=2
L=6+2√5>6+3√2
显然不是最小值

追问

是当且仅当a=根号（2b），而不是a=2b

追答

哦？你的“当且仅当a=√2b从何而来？

追问

a+b=（a+b）*（2/a+1/b)=3+2b/a+a/b
当且仅当2b/a=a/b时即a=跟号2b时等号成立

追答

你的问题还没有搞明白，
要对周长求最小值，
不要对ａ＋ｂ求最小值
因此要对
L=a+b+√(a²+b²) 作探讨

追问

我说，当对a+b求最小值时，此时的周长要比你求出来所谓的周长最小值要小

追答

那你对a求最小值，也许周长更小啊

追问

我说，这个结果足以证明你的所谓的最小值并不是最小的，因为我能找出反例，你也不用不服气
说这样的话，我只是想找人帮帮我，也不想为难你，你不能帮我我也一样感谢你的...

追答

没关系，也许你走入了一个误区，我也暂时说服不了你，但总觉得你这方法有问题，等 我想清楚了，再告诉你，你完全可以再找别人帮忙，我不介意
也许是我错了，那就要感谢你，我会改过的、

Answer 2

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点, 则三角形OAB面的最小值为

设A(a,0),B(0,b)--->L方程:x/a+y/b=1
P在L上--->2/a+1/b=1

S△AOB=(1/2)ab=(1/2)ab(2/a+1/b)(2/a+1/b)
　　　=(1/2)(2b+a)(2/a+1/b)
　　　=(1/2)(4+4b/a+a/b)
　　　≥(1/2)(4+2√4)
　　　= 4
--->4b/a=a/b即a=4,b=2时，S△ABC有最小值4

Answer 3

不知道楼主是哪个年级的，在大一高数中有关于求二元函数最小值的方法，你可以参考一下：

设F（a,b）=a+b+√(a²+b²)+m*（2/a+1/b-1）,其中a、b分别为x、y轴的截距，即2/a+1/b=1。则有

F（a,b）关于a的偏导数Fa=1+a/√(a²+b²)-2m/a^2=0

F（a,b）关于b的偏导数Fa=1+b/√(a²+b²)-m/b^2=0

和2/a+1/b=1联立得a=10/3,

                              b=5/2

追问

高二的，虽然看不懂，还是谢谢你，加你好友吧，以后数学有问题就问你了

追答

在周长=| (2k-1) /k| * 根(1+k^2)+| (2k-1) /k |+ |1-2k|
=5+根(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k)这一步时，因为右端恒>=5,要使其最小，必有 根(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k)=0
挺简洁的很不错！

追问

根号(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k)=0
解出来好像不是k=-3/4，
能不能再详细些..

追答

我按他的思路算了一下，貌似是写错了，
周长=3+2*根(k^2+1)+根(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k)，然后求右端这一串的最小值，恒>0，还是要用到导数的知识。。。。

追问

对它求导
l=2t+(2t^2+t-1)/(-k)
我导数还是知道一些，但不确定，你帮我算下
好了给你最佳答案
谢谢...

追答

如下图，k=tanθ=-4/3时等号成立！

Answer 4

设斜率为k, k<0
直线经过P，则有L方程为：y-1=k(x-2)
令x=0,则y=1-2K
令y=0,则x=1/k-2
则 A(1/k-2,0) ，B(1-2k,0)，0（0，0）
周长为三边之和，为一K表达式，讨论最小值 再将最小值代入L方程式就行了

追问

详细过程？

追答

两点间距离公式，代入，没时间，别再问了，就是这样思路。

追问

我带过了，算不出

追答

周长=| (2k-1) /k| * 根(1+k^2)+| (2k-1) /k |+ |1-2k|
=5+根(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k) >=5
仅在=根(k^2+1)/(-k)+1/(-k)+(-2k)=0时周长有最小值5
求得k1=0 (舍去) k2=-3/4 故 L: y=-3x/4+5/2

追问

详细一点，第二步就看不懂了，还有最后的结果带进去最小值不是5
请再劳烦你看一看，谢谢

Answer 5

设∠OAB=θ，则OA=2+cotθ，OB=1+2tanθ，AB=根号（5+4cotθ+4tanθ+cot^2θ+4tan^2θ）
设tanθ=k,则 周长f(K)=3+1/k+2k+根号（5+4/k+4k+1/K^2+4k^2)

追问

我也是算到这算不下去了

追答

用几何画板作图，看出是10，斜率是-3/4,OA=10/3,OB=5/2,AB=25/6,周长为60/6=10