Question

求高手做一道数学题，有关函数的。老师只要求我们做出前两问就行了，后面的问题我就省了。

据说这道题是中国天才青少年数学家刘浩男出的……以下是此题的前两问：
已知：函数f(x)的导函数满足f'(x)-f'[f'(x)-x]=1，g(x)=f(x)f'(x)
求：(1) 若g(x)为单调函数，且存在x满足g'(x)=0，求g(x)的表达式
(2) 试证明函数g(x)的图像恒为以(1/4，0)为对称中心的中心对称函数
对不起刚刚打错了，不是“中心对称函数”，是“中心对称图形”

Answer 1

我就是你要找的刘浩男，我今天就先帮你解决一下这道题，但是如果下次再对我进行人肉搜索的话，我就不客气了。
其实这道题不难的，学数学学的是思维，做数学题需要的是理清思维。比如说本题，要想求g(x)，根据题意就可以转化成求f(x)f'(x)，又因为只要知道f(x)和f'(x)中的任意一个就可以求出另外一个，可知只需求f(x)或f'(x)即可，又根据题意f'(x)-f'[f'(x)-x]=1可知求f'(x)是求解第一问的突破口。下面我从突破口讲起：
因为 f'(x)-f'[f'(x)-x]=1 ①
所以 f'[f'(x)-x]=f'(x)-1 ②
将f'(x)-x看成是f'(x)中的x（即作用对象）可得：
f'[f'(x)-x]-f'{f'[f'(x)-x]-[f'(x)-x]}=1
即： f'[f'(x)-x]-f'{f'[f'(x)-x]-f'(x)+x}=1
将②式代入上式得：f'[f'(x)-x]-f'[f'(x)-1-f'(x)+x]=1
即：f'[f'(x)-x]-f'(x-1)=1 ③
①式+③式得：f'(x)-f'(x-1)=2
因此导函数f'(x)是斜率为2的直线方程，设f'(x)=2x+a
将f'(x)=2x+a代入①式中得：
2x+a-f'(2x+a-x)=1 即：2x+a-f'(x+a)=1
即：2x+a-[2(x+a)+a]=1 解之得：a=-1/2
因此f'(x)=2a-1/2
因此f(x)=x^2-1/2x+b (b为常数)
因此g(x)=f(x)f'(x)=2x^3-(3/2)x^2+(2b+1/4)x-(1/2)b
因此g'(x)=6x^2-3x+(2b+1/4)
又根据题意g(x)为单调函数且存在x满足g'(x)=0得g'(x)的△为0
即：(-3)^2-4*6(2b+1/4)=0 解之得：b=3/48
因此g(x)=2x^3-(3/2)x^2+(9/24)x-3/96

第二问就比较简单了，还是先来分析一下，要证函数g(x)的图像恒为以(1/4，0)为对称中心的中心对称图形只需证f(1/4-x)+f(x+1/4)=0恒成立，下面我从f(1/4-x)+f(x+1/4)=0的证法讲起：
因为
f(1/4-x)=2*（1/4-x)^3-(3/2)(1/4-x)^2+(2b+1/4)(1/4-x)-(1/2)b
=-2x^3-(2b-1/8)x
f(x+1/4)=2*(x+1/4)^3-(3/2)(x+1/4)^2+(2b+1/4)(x+1/4)-(1/2)b
=2x^3+(2b-1/8)x
因此f(1/4-x)+f(x+1/4)=0
因此函数g(x)恒关于点（1/4，0）中心对称

如果你需要把第3问补出来顺便让我讲解一下的话，百度hi我就行了。

祝你在今后的数学学习中愉快！

还有别叫我是中国天才青少年数学家叫得太频繁，否则我很不好意思的。不过，还是要谢谢你这么给我面子。

Answer 2

想了一会做不来 等待高手

追问

你会不会人肉搜索啊？把那位中国天才青少年数学家刘浩男找来多好。只是我不知道这么不礼貌他会帮忙吗？

Answer 3

太难了，搞不定，找个专家吧

追问

找专家？找谁？莫非你能找到中国天才青少年数学家刘浩男？

Answer 4

找数学老师呗

Answer 5

老师要求不高

Answer 6

这问题……