Question

设a1=2,a2=4,bn=a(n+1)-an,b(n+1)=2bn+2 (1)an=2^(n+1)-2n （2）a1+a2+.....+an=2^(n+2)-n(n+1)-4

Answer 1

b(n+1)=2bn+2
bn=2b(n-1)+2
两式相减：b(n+1)-bn=2bn-2b(n-1)=2[bn-b(n-1)]
即：b(n+1)-bn是以2为公比的等比数列.
b1=a2-a1=2; b2=2b1+2=2*2+2=6
所以b(n+1)-bn.首项b2-b1=4.
于是b(n+1)-bn=4*2^(n-1).也就是b(n+1)-bn=2^(n+1)
b(n+1)-bn=2^(n+1)
bn-b(n-1)=2^n
……
b3-b2=2^3
b2-b1=2^2
叠加：b(n+1)-b1=2^(n+1)+2^n+.......+2^3+2^2
b(n+1)=2^(n+1)+2^n+.......+2^3+2^2+2
所以易知：b(n+1)=2*[1-2^(n+1)]/(1-2)=2*(2^(n+1)-1)=2^(n+2)-2
于是：a(n+1)-an=bn=2^(n+1)-2
an-a(n-1)=2^n-2
……
a3-a2=2^3-2
a2-a1=2^2-2
所以：a(n+1)-a1=2^(n+1)+2^n+```````+2^3+2^2-2n
=2^(n+2)-4-2n
a(n+1)=2^(n+2)-4-2n+2=2^(n+2)-2n-2
所以 an=2^(n+1)-2n

an =2^(n+1)-2n ,
a(n-1)=2^n-2(n-1),
……
a2 =2^3-2*2
a1 =2^2-2
叠加，则有：a1+a2+.....+an=【2^(n+1)+2^n++……+2^3+2^2】-【2n+2(n-1)+……+2*2+2】
=【2^2*(1-2^n)/(1-2)】-【(2+2n)*n/2】
=【2^(n+2)-4】-【n^2+n】
即为：a1+a2+.....+an=2^(n+2)-n(n+1)-4