Question

七下数学几何题

如图，三角形ABC中，AB=AC，角BAC=90度，直线L经过点A，BD垂直L于D，CE垂直L于D，CE垂直L与E
1 请你通过观察，测量，猜想并写出DE,BD,CE所满足的数量关系，然后证明你的猜想
2若M为BC中点，连接MD，ME,判断三角形MDE的形状并证明
3在2题的条件下，设MD于AB交于P点，ME与AC交于点Q，连接PQ。若BP=4，CQ=10试证明三角形MPQ的面积

Answer 1

①DE=BD+CE

∵CE垂直于直线L, BD垂直于直线L.

∴△ACE和△BAD都是直角三角形，且∠ACE+∠CAE=90°。

 又∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°.

 ∴∠ACE=∠BAD

 又∵AB=AC

 ∴△ACE≌△BAD.

 ∴BD=AE,AD=CE

即DE=AD+AE=BD+CE

②

延长DM与EC的延长线相交于点F

因为BD∥CF,所以∠DBM=∠FCM,∠BMD=∠CMF

所以△DBM≌△FCM

得CF＝BD，DM=FM

又ED=BD＋CE＝CF＋CE＝EF

∴△EDF是等腰直角三角形

又DM=FM

∴EM⊥DF

∴△MDE是等腰直角三角形

③

如图，连接AM，得AM⊥BC，AM=BM=CM,∠BAM=∠CAM=∠ACM=45°

又∠AMQ+∠CMQ=90°，∠AMQ+∠AMP=90°

所以∠CMQ=∠AMP

∴△AMP≌△CMQ　（ASA）

同理△BMP≌△AMQ

∴MQ=MP,AP=CQ=10,AQ=BP=4

所以△MPQ是等腰直角三角形，PQ=√(4^2+10^2)=√2MP

即MP=√58

S△MPQ＝MP^2/2=(√58)^2/2=58/2=29

三角形MPQ的面积为29

Answer 2

1,DE=BD+CE，三角形BDA相似于三角形AEC(很容易证），所以BD=AE,DA=CE
2,.等腰直角三角形 取DE的中点N，连接MN,MN垂直DE,根据三线合一知MD=ME,且MN=DN=NE,知角DME为直角
第三问没想出来

Answer 3

（1）DE=BD+CE
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵BD⊥L于D
∴∠DBA+∠BAD=90°
∴∠DBA=∠CAE
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC=90°
∴△ADB≌△CEA
∴AD=CE,AE=BD
∴DE=AD+AE=BD+CE
(2)连接MA
∵M为BC中点
∴MA=MB=MC,∠MAC=45°=∠MBA
∵∠ABD=∠CAE,BD=AE
∴△MBD≌△MAE
∴MD=ME
∴三角形MDE为等腰三角形
（3）连接AM，AM⊥BC，AM=BM=CM,∠BAM=∠CAM=∠ACM=45°
又∵∠AMQ+∠CMQ=90°，∠AMQ+∠AMP=90°
∴∠CMQ=∠AMP
∴△AMP≌△CMQ　
同理△BMP≌△AMQ
∴MQ=MP,AP=CQ=10,AQ=BP=4
∴△MPQ是等腰直角三角形，PQ=√(4^2+10^2)=√2MP
即MP=√58
S△MPQ＝MP^2/2=(√58)^2/2=58/2=29