在四面体ABCD中已知AB垂直CD，AC垂直BD求证AD垂直BC，
1个回答
展开全部
过B作BE⊥CD交CD于E，过C作CF⊥BD交BD于F，令BE∩CF＝O。
∵CD⊥AB、CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE，又AO在平面ABE内，∴AO⊥CD。
∵BD⊥AC、BD⊥CF，AC∩CF＝C，∴BD⊥平面ACF，又AO在平面ACF内，∴AO⊥BD。
由AO⊥CD、AO⊥BD，CD∩BD＝D，∴AO⊥平面BCD，∴DO是AD在平面BCD上的射影。
由BE⊥CD、CF⊥BD，BE∩CF＝O，得：DO⊥BC。 ［三角形的三条高共点］
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影，得：AD⊥BC。 ［三垂线定理］
∵CD⊥AB、CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE，又AO在平面ABE内，∴AO⊥CD。
∵BD⊥AC、BD⊥CF，AC∩CF＝C，∴BD⊥平面ACF，又AO在平面ACF内，∴AO⊥BD。
由AO⊥CD、AO⊥BD，CD∩BD＝D，∴AO⊥平面BCD，∴DO是AD在平面BCD上的射影。
由BE⊥CD、CF⊥BD，BE∩CF＝O，得：DO⊥BC。 ［三角形的三条高共点］
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影，得：AD⊥BC。 ［三垂线定理］
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
