在四面体ABCD中已知AB垂直CD,AC垂直BD求证AD垂直BC,
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过B作BE⊥CD交CD于E,过C作CF⊥BD交BD于F,令BE∩CF=O。
∵CD⊥AB、CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE,又AO在平面ABE内,∴AO⊥CD。
∵BD⊥AC、BD⊥CF,AC∩CF=C,∴BD⊥平面ACF,又AO在平面ACF内,∴AO⊥BD。
由AO⊥CD、AO⊥BD,CD∩BD=D,∴AO⊥平面BCD,∴DO是AD在平面BCD上的射影。
由BE⊥CD、CF⊥BD,BE∩CF=O,得:DO⊥BC。 [三角形的三条高共点]
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影,得:AD⊥BC。 [三垂线定理]
∵CD⊥AB、CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE,又AO在平面ABE内,∴AO⊥CD。
∵BD⊥AC、BD⊥CF,AC∩CF=C,∴BD⊥平面ACF,又AO在平面ACF内,∴AO⊥BD。
由AO⊥CD、AO⊥BD,CD∩BD=D,∴AO⊥平面BCD,∴DO是AD在平面BCD上的射影。
由BE⊥CD、CF⊥BD,BE∩CF=O,得:DO⊥BC。 [三角形的三条高共点]
结合证得的DO是AD在平面BCD上的射影,得:AD⊥BC。 [三垂线定理]
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