Question

实数 x , y , z 满足 xyz = 1 , 证明 x² + y² + z² + 3 ≥ 2(xy + yz + zx)

Answer 1

收藏过3种证法
已知x，y，z是实数，且xyz=1，求证x^2+y^2+z^2+3大于等于2(xy+xz+yz)
PF1：由舒尔不等式得
∑x(x-y)(x-z)>=0
3xyz+∑x^3>=∑x^2y+∑xy^2
=∑xy(x+y)>=∑x^(3/2)y^(3/2)
令x=a^(2/3),y=b^(2/3),z=c^(2/3)
便得到要证的式子
PF2：
只需考虑x,y,z都是正数且满足x^2+y^2+z^2<2(xy+xz+yz)的情形
取x=a^2,y=b^2,z=c^2
则a,b,c是三角形的三边
问题转化为已知abc=1证明三角形面积小于等于√3/4
设外接圆半径为R,面积为S
问题转化为证明若RS=1/4则S<=√3/4
而这可由3√3/4R^2>=S得到
PF3:
由于x^2y^2z^2=1,所以X^2，Y^2,z^2中必存在2个同时大于1，或同时小于1，设这两个数为
x^2,y^2,那么（1/x^2-1）(1/y^2-1)≥0
x^2+y^2+z^2+3-2(xy+xz+yz)=(x-y)^2+(1/x-1）^2+（1/y-1)^2+（1/x^2-1）(1/y^2-1)≥0

Answer 2

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Answer 3

当X和Y和Z相等时 都是1 就成立 利用数学的X+Y大于或等于2倍根号XY就 可以解了

Answer 4

证明： x² + y² + z² + 3 -2(xy + yz + zx)=