Question

若x,y,z为正实数满足x+y+z≧xyz,证明x ²+y²+z²≧xyz?

Answer 1

(昨晚的回答有问题
算是回答了一半. 今算是补全了.) 设 xyz = k. 则 x
y
z 之几何平均为 k^(1/3). 由算几不等式
(x + y + z)/3 ≧ k^(1/3). 若 k ≧ 1
则由 平方之平均 不小于 平均之平方
即: (x^2+y^2+z^2)/3 ≧ [(x+y+z)/3]^2 得 x^2 + y^2 + z^2 ≧ 3[(x+y+z)/3]^2 = [(x+y+z)/3](x+y+z) ≧ [(x+y+z)/3]k ≧ k^(1/3) k ≧ k = xyz 若 k < 1
则 (x + y + z)/3 ≧ k^(1/3) 故 x^2 + y^2 + z^2 ≧ 3[(x+y+z)/3]^2 ≧ 3k^(2/3) ≧ 3k > k = xyz 故在 x+y+z≧xyz 条件下
必有 x^2 + y^2 + z^2 ≧ xyz 注: 仅当 xyz = k > 3^(3/2) 时
k > 3k^(1/3)
条件 x + y + z ≧ xyz 才会对 x
y
z 造成限制. 当 xyz = k ≦ 3^(3/2) 时
必有 x + y + z ≧ xyz. 所以
在 x
y
z > 0 条件下
xyz≧3^(3/2) 且 x+y+z≧xyz ==> x^2+y^2+z^2≧xyz; xyz < 3^(3/2) ==> x+y+z≧xyz 且 x^2+y^2+z^2≧xyz.