Question

1.已知tan=3,求(1) 2sinα-3cosα/sinα-cosα (2) -2sinαcosα (3)sinα²-2cosα²+1

2.已知sinα+cosα=1/2, 求（1）sin³α+cos³α （2） sin⁴α+cos⁴α
希望能写详细的步骤。

Answer 1

已知tan=3
2sinα-3cosα/sinα-cosα
=2sinα-2cosα-cosα/sinα-cosα
=(2sinα-2cosα/sinα-cosα)-(cosα/sinα-cosα)
=2-(cosα/sinα-cosα)
=2-{1/(sinα-cosα/cosα)}
=2-{1/(tanα-1)}
=2-{1/(3-1)}
=1.5

(2) -2sinαcosα
令其1/（sinαcosα ）
=（sin²α+cos²α）/（sinαcosα ）
=（sinα/cosα）+（cosα/sinα）
=（tanα）+（1/tanα）
=3+1/3
=10/3
则sinαcosα=3/10
（-2sinαcosα ）=-2x(3/10)=-3/5

(3)sin²α-2cos²α+1
{(sin²α-2cos²α)/sinαcosα}sinαcosα+1
={sinα/cosα-2cosα/sinα/sinαcosα}+1
={tanα-2/tanα}sinαcosα+3/10
=（3-2/3）3/10+3/10
=7/10

已知：sinα+cosα=1/2
则将其平方,cos²α+2sinαcosα+sin²α=1/4
>1+2sinαcosα=-3/4
>2sinαcosα=-3/4
>sinαcosα=-3/8
则将其三处方，(cos²α+2sinαcosα+sin²α)(sinα+cosα)=
sinαcos²α+2sin²αcosα+sin³α+cos³α+2sinαcos²α+sin²αcosα=1/8
>3sinαcos²α+3sin²αcosα+sin³α+cos³α=1/8
>3sinαcosα(sinα+cosα)+sin³α+cos³α=1/8
>3x(-3/8)x(1/2）+sin³α+cos³α=1/8
>sin³α+cos³α=1/8-9/16
>sin³α+cos³α=-7/16

sin⁴α+cos⁴α
已知（sin³α+cos³α）(sinα+cosα)=（-7/16）x（1/2）=-7/32
>sin⁴α+sin³αcosα+cos⁴α+sinαcos³α=-7/32
>sin⁴α+cos⁴α+(sin³αcosα+sinαcos³α)=-7/32
>sin⁴α+cos⁴α+sinαcosα(cos²α+sin²α)=-7/32
>sin⁴α+cos⁴α+sinαcosα=-7/32
>sin⁴α+cos⁴α-3/8=-7/32
>sin⁴α+cos⁴α=5/32

追问

第一题 第三小问（3），（3-2/3）3/10+3/10 我怎么做的不对？ 是（3-2/3）乘3/10+3/10 吗？
第二题 可以在检验下吗？　你与１Ｌ的答案不同。

追答

(3)sin²α-2cos²α+1
第一题三问
不好意思，计算错误了
sin²α-2cos²α+1（相当于把sin²α-2cos²α分数化）
{(sin²α-2cos²α)/sinαcosα}sinαcosα+1
={sinα/cosα-2cosα/sinα}sinαcosα+1
={tanα-2/tanα}sinαcosα+1
=（3-2/3）3/10+1
=17/10

更不好意思的是，第二大题的第一小题最后倒数第二步，我移项写错了，应该是
>3x(-3/8)x(1/2）+sin³α+cos³α=1/8
>sin³α+cos³α=1/8+9/16
>sin³α+cos³α=11/16

然后延伸到第二小题，把最初带入的（-7/16）x（1/2）=-7/32改成（11/16）x（1/2）=11/32
最终答案就是23/32

Answer 2

1.(1)分子分母同除以cosα得
(2sinα-3cosα)/(sinα-cosα)=(2tanα-3)/(tanα-1)=(2*3-3)/(3-1)=3/2；
(2) 运用倍角公式及万能公式得
-2sinαcosα= -sin2α= -2tanα/(1+tan²α)= -2*3/(1+3²)= -3/5；
(3) sin²α-2cos²α+1=1-cos²α-2cos²α+1=2-3cos²α=2-3/sec²α=2-3/(1+tan²α)=2-3/(1+3²)=17/10。
2.由sinα+cosα=1/2两边平方得1+2sinα+cosα=1/4, 所以sinαcosα= -3/8
（1）sin³α+cos³α=(sinα+cosα)(sin²α+cos²α-sinαcosα)=(1/2)[1-(-3/8)]=11/16；
（2）sin⁴α+cos⁴α=(sin²α+cos²α)²-2sin²αcos²α=1-2(sinαcosα)²=1-2(-3/8)²=55/64。