Question

在三角形ABC中，BO平分角ABC,CO平分角ACB，MN平行BC且点O在MN上，设AB=12，BC=24，AC=18求三角形AMN的周长

Answer 1

因为BO平分角ABC,CO平分角ACB，所以∠OBC=∠OBM,又MN∥BC，所以∠OBC=∠BOM,
∠OBM=∠BOM，所以三角形BMO为等腰三角形，BM=OM
同理可证，ON=NC，MN=ON+OM=NC+BM
设BM=2x 则NC=3x
因三角形ABC∽三角形AMN
AB/AC=AM/MN=（12-2x）/5x=12/24
x=8/3,AM=12-16/3=20/3
三角形AMN的周长/三角形ABC的周长=AM/AB=(20/3)/12=5/9,
三角形AMN的周长=54*5/9=30

Answer 2

解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠MOB=∠ABO，
∴OM=BM，
又CO平分∠ACB，MN∥BC，
同理得到ON=NC，
∴△AMN的周长=AM+AN+OM+ON
=AM+AN+BM+CN
=AB+AC
=12+18
=30．