Question

用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+....+1/根号n<2根号n

Answer 1

设k=n时原不等式成立,则k=n+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+....+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3
下证-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤-2/根号(n+1)
而根号(n+1)+根号n≤2根号(n+1)
根号n≤根号(n+1)
根号(n+1)≤根号(n+1)
3个式子相乘有
[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≤2根号(n+1)^3
所以2/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≥2/2根号(n+1)^3

Answer 2

n=2时，1+1/√2<2√2，成立
设，1+1/√2+…+1/√n<2√n
则有：
1+1/√2+…+1/√n+1/√(n+1)<(2√n)+(1/√(n+1))
而
(2√n)+(1/√(n+1))
=((2√n)*√(n+1)+1)/√(n+1)
=(2√(n(n+1))+1)/√(n+1)
=(2√(n(n+1))-1+2)/√(n+1)
<(2n+2)/√(n+1)

最后一步要单独比较
2√(n(n+1))-1<2n
而这是简单的

所以综上n>=2时，
原题得证

Answer 3

令n=k时，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
当n=k+1时，上式左边=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右边=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
则上式右边=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。

Answer 4

设f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√n
h(n)= 2√n

a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)
通过a b的比较，可知a<b
f(1)=2√2-2
g(1)=1 所以，f(1) <g(1)
通过a<b知道f(n)增长的比g(n)要慢
所以，f(n)< g(n)

同理，c= h(n)- h(n-1)=2(√n-√(n-1))=2/(√n+√(n-1))
通过c b的比较，可知c>b
h(1)=2 所以，h(1)>g(1)
所以，h(n)>g(n)

综上所述 2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n

Answer 5

不用数学归纳法也可证明。
只须利用不等式
1√n＜2(√n-√(n-1))