Question

已知函数 f(x)=1/2cos^2x-3sinxcosx-1/2sin^2x+1 x∈R

求函数f(x)的最小正周期 及 在区间[0,π/2]上的最大值最小值。

Answer 1

f(x)=(1/2)(cosx)^2-3sinxcosx-(1/2)(sinx)^2 +1
==(1/2)[(cosx)^2-(sinx)^2]-(1/2)2sinxcosx -sin2x
=(1/2)(cos2x+sin2x)
=(√2/2)[cos2xcos(pi/4)+sin2xsin(pi/4)]
=(√2/2)cos(2x-pi/4)
1)周期T=2pi/2=pi
2)对称轴2x-pi/4=kpi--->x=kpi/2+pi/8
3)递减区间2kpi=<2x-pi/4=<2kpi+pi--->kpi+pi/8=<x=<kpi+5pi/8
递增区间2kpi+pi=<2x+pi/4=<2kpi--->kpi+5pi/8=<x=<kpi+9pi/8

Answer 2

1.f(x)=(1/2)(cosx)^2-sinxcosx-(1/2)(sinx)^2
==(1/2)[(cosx)^2-(sinx)^2]-(1/2)2sinxcosx
=(1/2)(cos2x-sin2x)
=(√2/2)[cos2xcos(pi/4)-sin2xsin(pi/4)]
=(√2/2)cos(2x+pi/4)
周期T=2pi/2=pi

②你根据一就算出来了

Answer 3

f(x)=1/2*cos2x-3/2*sin2x+1=1/2*10^1/2*cos(2x+arctan3)+1;所以f(x)最小正周期为2*π/2=π；
cos(2x+arctan3)在区间[0,π/2]上先递减后递增，在[0，(π-arctan3)/2]区间由正数转为负数单调递减至最小值，在[(π-arctan3)/2，π/2]上递增，但在x=π/2时仍为负值。
所以当cos(2x+arctan3)=-1时，f(x)最小值为1-1/2*10^1/2(即一减去二分之根号10)，此时x=(π-arctan3)/2;当x=0时，f(x)取得最大值3/2