Question

高中数学问题！求解！求过程！

设a大于0，求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a^2的最大值和最小值？是大题，要有过程~！

Answer 1

（将sinxcosx化为sin[(x+π/4)-π/4]cos[(x+π/4)-π/4并展开）
f(x) =2√2asin(x+π/4) -[sin(x+π/4)-cos(x+π/4)][cos(x+π/4)+sin(x+π/4)]/2 - 2a²
= 2√2asin(x+π/4) + [cos²(x+π/4)-sin²(x+π/4)]/2 - 2a²
= -sin²(x+π/4) + √2asin(x+π/4) + 1/2 - 2a²
= -[sin(x+π/4) - √2a/2]² + 1/2 - 3a²/2
若a<√2，当sin(x+π/4)=√2a/2时，f(x)取最大值1/2 - 3a²/2
当sin(x+π/4)=-1时，f(x)取最小值-(1+a/√2)²+1/2 - 3a²/2=-2a²-√2a-1/2
若a≥√2，当sin(x+π/4)=-1时，f(x)取最小值=-2a²-√2a-1/2
当sin(x+π/4)=1时，f(x)取最大值-(1-a/√2)²+1/2 - 3a²/2=-2a²+√2a-1/2
综上，f(x)的最小值=-2a²-√2a-1/2
当a<√2时，f(x)的最大值为1/2 - 3a²/2
当a≥√2时，f(x)的最大值为-2a²+√2a-1/2

Answer 2

用换元法做
令sinx+cosx=t t∈[-√2,√2]
sinxcosx=(t²-1)/2
那么f(x)=g(t)=-t²/2+2at+1/2-2a²=-1/2(t-2a)²+1/2(a>0,t∈[-√2,√2] )

画图像可以看出来
开口向上的抛物线，边界又是[-√2,√2]， 最小值在肯定-√2和√2点取得
由于对称轴在y轴的右边
必有g(-√2)<g(√2)(做个减法就可以证明了)
那么最小值就在-√2处取得
所以t=-√2的时候取得最小值-2a²-2√2a-1/2

最大值需要讨论下
对称轴是x=2a
当2a≥√2的时候
最大值在t=√2处 是-2a²+2√2a-1/2
当0<2a<√2的时候 最大值在顶点处取为1/2