Question

平面上有四个点A.B.C.D,其中任何三个点都不共线,求证:△ABC,△ABD,△ACD,△BCD中

平面上有四个点A.B.C.D，其中任何三个点都不共线，求证：△ABC,△ABD,△ACD,△BCD中至少有一个内角不超过45°

Answer 1

利用反证法。假设这些三角形的每个内角都大于45°，那么：
一、当ABCD构成凸四边形时。
∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC
＝（∠BAC＋∠CAD）＋（∠ABD＋∠CBD）＋（∠ACB＋∠ACD）＋（∠ADB＋∠BDC）
＞（45°＋45°）＋（45°＋45°）＋（45°＋45°）＋（45°＋45°）＝360°。
这与四边形的内角和等于360°相矛盾。
∴这些三角形的每个内角都大于45°是不可能的，得：这些三角形中至少有一个内角不超过45°。

二、当ABCD构成凹四边形时，不失一般性地设点C内凹，即C在△ABD的内部。
∠ABD＋∠ADB＋∠BAD
＝（∠ABC＋∠CBD）＋（∠ADC＋∠BDC）＋（∠BAC＋∠CAD）
＞（45°＋45°）＋（45°＋45°）＋（45°＋45°）＝270°。
这与三角形的内角和等于180°相矛盾。
∴这些三角形的每个内角都大于45°是不可能的，得：这些三角形中至少有一个内角不超过45°。

综上一、二所述，问题得证。