Question

函数F(X)=(sinxcosx)/(sinx+cosx+1),0<=x<=(π/2)的值域为？

Answer 1

令sinx+cosx=t
f(x)=t²-1/2（1+t），由已知t≠0
f(x)=t-1/2，演变为求sinx+cosx的极值
t=sinx+cosx=根号2（sinx+π/4）
0<=x<=(π/2)时，π/4＜=x+π/4＜=3/4π
当x=0时或者π/2时，t取得最小值为1
当x=π/4时，t有最大值为根号2
因此f(x)=值域为[0，（根号2-1）/2]

Answer 2

F(x)=(sinxcosx)/(sinx+cosx+1)
=(1/2)[(sinx+cosx)^2-1]/(sinx+cosx+1)
=(1/2)[sinx+cosx-1]
=(1/2)(√2sin(x+π/4)-1]
x=0,F(x)最小=0
x=π/4,F(x)最大=(1/2)(√2-1)