Question

关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a不等于0）给出下列说法，正确的有？并说明理由：

1.若a+c=0，则方程必有两个实数；
2.若a+b+c=0,则方程必有两个不等实数根；
3.若b=2a+3c,则方程有两个不等的实数根；
4.若b^2-5ac小于0，则方程一定没有实数根.

Answer 1

1 正确。因为 a+c=0且a≠0，则ac<0，b^2-4ac>0，方程一定有两实根。
2 不正确。取a=c=1，b=-2，则 方程x^2-2x+1=0 两实根相等。
3 正确。因为 b^2-4ac=(2a+3c)^2-4ac=4a^2+9c^2+8ac=(2a+2c)^2+5c^2>=0
如果 (2a+2c)^2+5c^2=0，则 a=c=0，与已知矛盾。
所以 b^2-4ac>0，方程一定有两个不相等的实数根。
4 不正确。取a=c=1，b=-2，则b^2-5ac=-1<0，但方程 x^2-2x+1=0有实根x=1.

Answer 2

△=b²-4ac
1、∵a+c=0 那么a、c异号 ∴ac<0 △>0 必有实数根 正确
2、a+b+c=0 b=-(a+c)
△=b²-4ac=[-(a+c)]²-4ac=(a-c)²>=0 必有实数根 有相等的可能 错
3、b=2a+3c △=b²-4ac=4a²+8ac+9c²=4(a+c)²+5c²>0 正确
4、b²-5ac<0 △=b²-4ac<ac 有可能△>=0 错误

Answer 3

1 正确。因为 a+c=0且a≠0，则ac<0，b^2-4ac>0，方程一定有两实根。
2 不正确。只有当x=1的时候才会出现，所i错误
3 正确。因为 b^2-4ac=(2a+3c)^2-4ac=4a^2+9c^2+8ac=(2a+2c)^2+5c^2>=0
如果 (2a+2c)^2+5c^2=0，则 a=c=0，与已知矛盾。
所以 b^2-4ac>0，方程一定有两个不相等的实数根。
4 不正确。取a=c=1，b=-2，则b^2-5ac=-1<0，但方程 x^2-2x+1=0有实根x=1.

Answer 4

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