Question

已知y=4^x-3x2^x+3,当其值域为[1,7]时,X的取值范围为多少?

Answer 1

y=(2^2x)-3*2^x+3=(2^x)^2-3*(2^x)+3
利用换元法 令2^x=t
所以原式y=t^2-3t+3 配方得y=（t-3/2）^2+3/4
由此式可知y可以取到最小值3/4
但是其值域为[1,7] 所以其定义域t的区间不经过对称轴
1.当函数在对称轴右边
开口向上 对称轴右边为增函数
所以当y=1时 t最小为2 此时2^x=t=2 所以x=1
当y=7时 t最大为t最大为4 时2^x=t=4 所以x=2
2.当函数在对称轴左边
开口向下 对称轴左边为减函数
所以当y=1时 带入函数得t最大为1 此时2^x=t=1 所以x=0
当y=7时 带入函数得t最小为-1 此时2^x=t=-1 x无解 所以矛盾
综合以上 得知 x的取值范围为[1,2]