Question

用数学归纳法证明不等式 2^n<(3^n)/n

会给分的

Answer 1

n=1 、2、3显然都成立
n=k 2^k<3^k/k
n=k+1 2^(k+1)-[3^(k+1)]/(k+1)<2*3^k/k-[3^(k+1)]/(k+1)=[2*3^k*(k+1)-3^(k+1)*k]/k*(k+1)
<[2*3^k*k-3^(k+1)*k]/k*(k+1)=[2*3^k-3^(k+1)]/(k+1)<0
所以 2^(k+1)<[3^(k+1)]/(k+1)
所以2^n<(3^n)/n成立

Answer 2

原式等价于n<(3/2)^n
数学归纳 已知n<(3/2)^n n>=2
那么 n+1<=(3/2)n <(3/2)*(3/2)^n=(3/2)^(n+1) 对n+1成立 从而都成立

追问

n+1<=(3/2)n这一步是为什么啊

追答

n+1=2 不很显然吗？

Answer 3

n=1时显然成立
当n>1时
假设2^k<(3^k)/k 成立
则2^(k+1)<2(3^k)/k
证2(3^k)/k<[3^(k+1)]/(k+1) 成立即可整理得
2/3<k/(k+1)
因为k>1，不等式成立，证毕