Question

如图示,在△ABC中已知:AD是∠A的平分线,求证:AB比AC=BD比DC

Answer 1

延长AD

再其延长线上取一点E，使BE=BD

△BDE为等腰三角形

∠BED=∠BDE=∠ADC

又∠BAD=∠DAC

∴△ABE∽△ACD

∴AB:AC = BE:DC

∵BE=BD

∴AB:AC = BD:DC

Answer 2

证明：过点B做BE∥AC，交AD的延长线与点E
∵BE∥AC ∴ ∠BED=∠DAC
∵AD是∠A的平分线 ∴∠BAD=∠DAC
∴∠BED=∠BAD AB=BE
∵ ∠BED=∠DAC ∠BDE=∠ADC
∴△BDE∽△ADC
BD:CD=BE:AC
∵ AB=BE
∴BD:CD=AB:AC
即BAB:AC=BD:CD

Answer 3

用正弦定理。bd/sin∠bad=ad/sin∠b，dc/sin∠cad=ad/sin∠c，解得，bd/dc=sin∠c/sin∠b（1式）。同理，由ad/sinb=ab/sin∠adb，ad/sin∠c=ac/sin∠adc，因为∠adb+∠adc=180°，所以，sin∠adb=sin∠adc，所以，ab/ac=sin∠c/sin∠b（2式）。由1式和2式得，AB/AC=BD/DC

Answer 4

过B点做直线BE平行AC，交AD的延长线与E点，则三角形ADC相似与三角形BDE