Question

已知锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若满足(a+b+c)(b+c-a)=3bc ①求角A ②求cosB+cosC取值范围

Answer 1

(1)将（a+b+c)(b+c-a）=3bc 化简，得
(b+c^2)-a^2=3bc
b^2+c^2-a^2=bc
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
所以，A=60°

(2)B+C=120°
cosB+cosC=cos(120°-C)+cosC
= -1/2*cosC/2+√3/2*sinC+cosC
=1/2cosC+√3/2sinC=sin30°cosC+cos30°sinC=sin(30°+C)
因为三角形是锐角三角形，所以0°＜B＜90°
又因B+C=120° 所以30°＜C＜90°
所以60°＜30°+C＜120°从而√3/2<sin(30°+C)≤1.
所以，cosB+cosC的取值范围是(√3/2,1].