Question

已知函数f(X)=x-1-Inx

1）求函数f(X)的最小值
2)求证：当n属于N+时，e^(1+1/2+1/3+......+1/n)>n+1

Answer 1

1)f'(x)=1-1/x=0---> x=1
f"(x)=1/x^2>0
因此f(1)=0为极小值。
2)由1），x>0, 有x-1-lnx>0, x-1>lnx
e^(x-1)>x
e^1=e^(2-1)>2=2/1
e^1/2=e^(1+1/2-1)>1+1/2=3/2
.....
e^1/n=e^(1+1/n-1)>1+1/n=(n+1)/n
以上所有式子相乘，得：e^(1+1/2+..1/n)>n+1

追问

)由1），x>0, 有x-1-lnx>0, x-1>lnx
e^(x-1)>x
这边不懂

追答

x>1时, 有f'(x)>0, 即f(x)为增函数，最小值为f(1)=0, 因此有f(x)>0, 即x-1-lnx>0,即 x-1>lnx
即e^(x-1)>x