Question

设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1 （1）若a+b+c=0,求ab+bc+ac的值 （2）求(a+b+c)^2的最大值

Answer 1

利用恒等式：
(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
（1）若a+b+c=0, 且a^2+b^2+c^2=1代入上式得：
ab+bc+ac=-1/2.
(2)
2ab≤a^2+b^2,2bc≤b^2+c^2,2ac≤c^2+a^2,
所以(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
≤a^2+b^2+c^2+ a^2+b^2+ b^2+c^2 +c^2+a^2
=3(a^2+b^2+c^2)=3,
(a+b+c)^2的最大值是3.

Answer 2

（1）a^2+b^2+c^2=（a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=1,
a+b+c=0,
∴ab+bc+ac=-1/2.
(2)(a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)=3,
当a=b=c=土1/√3时取等号，
∴(a+b+c)^2的最大值为3.

Answer 3

1.ab+bc+ac=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]/2=-1/2;
2.由(a-b)^2=a^2+b^2-2ab>=0，所以a^2+b^2>=2ab,同理b^2+c^2>=2bc,a^2+c^2>=2ac，联合这三个式子有2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ac)，即a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac;
因此(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)<=3(a^2+b^2+c^2)=3，所以当a=b=c时，(a+b+c)^2最大值为3

Answer 4

第一个 (a+b+c)^2=1 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1
所以　ab+bc+ca= -0.5