Question

一道一次函数题：P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t……

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和y=-1/2 x+2分别交于点D、E（E在D上方）且△PDE为等腰直角三角形？
若存在求出t的值及P的坐标；若不存在请说明理由。

图中红色的是老师提示的一种情况，也就是说肯定存在这种情况，老师说貌似有6种。
请大家帮帮我。。
可能稍微有点不标准、

Answer 1

解：存在．
方法一：当x=t时，y=x=t；
当x=t时，y=-
1
2
x+2=-
1
2
t+2．
∴E点坐标为（t，-
1
2
t+2），D点坐标为（t，t）．（2分）
∵E在D的上方，
∴DE=-
1
2
t+2-t=-
3
2
t+2，且t＜
4
3
．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
若t＞0，PE=DE时，-
3
2
t+2=t，
∴t=
4
5
，-
1
2
t+2=
8
5
，
∴P点坐标为（0，
8
5
）．（5分）
若t＞0，PD=DE时，-
3
2
t+2=t，
∴t=
4
5
，
∴P点坐标为（0，
4
5
）．（6分）
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴-
3
2
t+2=2t（7分）
∴t=
4
7
，DE的中点坐标为（t，
1
4
t+1），
∴P点坐标为（0，
8
7
）．（8分）
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-
3
2
t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-
3
2
t+2=-2t，（11分）
∴t=-4，
1
4
t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上所述：当t=
4
5
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）；
当t=
4
7
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
7
）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．
方法二：设直线y=-
1
2
x+2交y轴于点A，交直线y=x于点B，过B点作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N．
∵x=t平行于y轴，
∴MN=|t|．（1分）
∵
y=xy=-12x+2
，
解得x=
4
3
，y=
4
3
，
∴B点坐标为（
4
3
，
4
3
），
∴BM=
4
3
，
当x=0时，y=-
1
2
x+2=2，
∴A点坐标为（0，2），
∴OA=2．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，
∴PE=t，PD=t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
．（5分）
∴
t
2
=
43-t
43
，
∴t=
4
5
当t=
4
5
时，y=-
1
2
x+2=
8
5
，y=x=
4
5
∴P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）．（6分）
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=2t．
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（7分）
∴
2MN
2
=
43-MN
43
，
∴MN=t=
4
7
，DE中点的纵坐标为
1
4
t+1=
8
7
，
∴P点坐标为（0，
8
7
）（8分）
如图，
若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（9分）
DE=-4（不符合题意，舍去），此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=-2t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（11分）
∴
2MN
2
=
43+MN
43
，
∴MN=4，
∴t=-4，
1
4
t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上述所述：当t=
4
5
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）；
当t=
4
7
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
7
）；当t=-4时，
△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

Answer 2

（0,4），（0,0）,（0,4/5)，（0,8/5），（0,8/7），应该是6种情况，有两种情况点相同。前四个点都直角顶点不在y轴上。最后一个点是直角顶点在y轴上，x=t直线在y轴右侧。直角顶点在y轴上，x=t直线在y轴左侧时，仍取（0，0）